|
Теория чисел |
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ, раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, +1, +2,... и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не представляют особого интереса и обычно не входят в предмет теории чисел. С другой стороны, выписанное только что равенство становится несравненно более интересным, если заметить, что оно представляет собой простейшее решение в целых числах (если не считать тривиальных решений x = z, y = 0) уравнения Пифагора x2 + y2 = z2. С этой точки зрения последнее уравнение непосредственно приводит к некоторым подлинным теоретико-числовым проблемам, например, (1) имеет ли x2 + y2 = z2 бесконечно много или только конечное число решений в целых числах и как их можно найти? (2) Какие целые числа представимы в виде x2 + y2, где x и y - целые числа? (3) Существуют ли решения в целых числах аналогичного уравнения xn + yn = zn, где n - целое число, большее 2? Одна из интригующих особенностей теории чисел состоит в том, что эти три вопроса, формулируемые так легко и понятно, в действительности находятся на совершенно различных уровнях сложности. Пифагор и Платон, а возможно гораздо раньше вавилонские математики, знали, что уравнение x2 + y2 = z2 имеет бесконечно много решений в целых числах, а древнегреческому математику Диофанту (ок. 250 до н.э.) было известно, что каждое такое решение представимо в виде x = r2 - s2, y = 2rs, z = r2 + s2 при подходящих целых числах r и s и что при любых двух целых числах r и s соответствующие значения x, y и z образуют решение. Что касается второго вопроса, то структуру множества целых чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, описал П.Ферма (1601-1665), основатель теории чисел в ее современной форме. Ферма показал, что целое число m представимо в виде суммы двух квадратов в том и только в том случае, когда частное от деления числа m на наибольший квадрат, делящий число m, не содержит простого множителя вида 4k + 3 (k - целое число). Этот результат гораздо тоньше, чем первый, а его доказательство далеко не очевидно, хотя и не является слишком трудным. Третий вопрос оставался без ответа, несмотря на упорнейшие усилия самых блестящих математических умов, на протяжении трех последних столетий. Ферма примерно в 1630 на полях одной из книг написал, что уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y и z, отличных от нуля, при n больше 2, но самого доказательства не оставил. И только в 1994 Э.Вайлсу из Принстонского университета удалось доказать эту теорему, уже несколько веков носящую название <Великой теоремы Ферма>.
Вне самой математики теория чисел имеет довольно мало приложений, и развивалась она не ради решения прикладных задач, а как искусство ради искусства, обладающее своей внутренней красотой, тонкостью и трудностью. Тем не менее теория чисел оказала большое влияние на математическую науку, поскольку некоторые разделы математики (в том числе и такие, которые впоследствии нашли применение в физике) были первоначально созданы для решения особенно сложных проблем теории чисел.
http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001551/1001551a1.htm
|